Filtro IIR Pasa bajas
Introducción
El filtro pasa bajas es parte fundamental del análisis de señales, con este se puede restringir el paso de altas frecuencias.
Objetivos
Diseñar filtro pasa bajas Butterworth de segundo orden con el método de la invarianza al impulso.
Calcular los coeficientes h(n) con características especificadas para la práctica.
Marco teórico
Filtro IIR
La respuesta de impulso infinito ( IIR ) es una propiedad que se aplica a muchos sistemas lineales invariantes en el tiempo. Ejemplos comunes de sistemas lineales invariantes en el tiempo son la mayoría de los filtros electrónicos y digitales. Los sistemas con esta propiedad se conocen como sistemas IIR o filtros IIR, y se distinguen por tener una respuesta de impulso que no llega a ser exactamente cero después de cierto punto, sino que continúa indefinidamente. Esto contrasta con una respuesta de impulso finita (FIR) en la que la respuesta de impulso h ( t ) llega a ser exactamente cero a veces t >T para algunos T finitos , por lo tanto es de duración finita.
En la práctica, la respuesta al impulso, incluso de los sistemas IIR, por lo general se aproxima a cero y se puede ignorar más allá de cierto punto. Sin embargo, los sistemas físicos que dan lugar a respuestas IIR o FIR son diferentes, y ahí radica la importancia de la distinción. Por ejemplo, los filtros electrónicos analógicos compuestos de resistencias, condensadores y / o inductores (y quizás amplificadores lineales) son generalmente filtros IIR. Por otro lado, los filtros de tiempo discreto (generalmente filtros digitales) se basan en una línea de retardo girada que no emplea retroalimentación Son necesariamente los filtros FIR. Los condensadores (o inductores) en el filtro analógico tienen una "memoria" y su estado interno nunca se relaja completamente siguiendo un impulso (asumiendo el modelo clásico de capacitores e inductores donde se ignoran los efectos cuánticos). Pero en este último caso, después de que un impulso haya llegado al final de la línea de retardo girada, el sistema no tiene más memoria de ese impulso y ha regresado a su estado inicial; su respuesta de impulso más allá de ese punto es exactamente cero.
La principal ventaja de los filtros IIR digitales sobre los filtros FIR es su eficiencia en la implementación, con el fin de cumplir con una especificación en términos de banda de paso, banda de parada, ondulación y / o caída. Dicho conjunto de especificaciones se puede lograr con un filtro IIR de orden inferior (Q en las fórmulas anteriores) del que se requeriría para un filtro FIR que cumpla con los mismos requisitos. Si se implementa en un procesador de señales, esto implica un número correspondientemente menor de cálculos por paso de tiempo; El ahorro computacional es a menudo un factor bastante grande.
Por otro lado, los filtros FIR pueden ser más fáciles de diseñar, por ejemplo, para cumplir un requisito de respuesta de frecuencia particular. Esto es particularmente cierto cuando el requisito no es uno de los casos habituales (paso alto, paso bajo, muesca, etc.) que se han estudiado y optimizado para filtros analógicos. Además, los filtros FIR pueden hacerse fácilmente para que sean de fase lineal ( retardo de grupo constante frente a frecuencia), una propiedad que no se cumple fácilmente con los filtros IIR y luego solo como una aproximación (por ejemplo, con el filtro de Bessel ). Otro problema relacionado con los filtros IIR digitales es el potencial del comportamiento del ciclo límite cuando está inactivo, debido al sistema de retroalimentación junto con la cuantificación.
Figura 3. 1 Ejemplo de filtro IIR.
Técnica de invarianza al impulso
Se basa en tomar como respuesta al impulso del filtro digital una versión muestreada de la respuesta al impulso del sistema de tiempo continuo empleando un período de muestreo T.
Cuando empleamos la transformación invariante de impulso para diseñar un sistema de tiempo discreto a partir de una especificación de su respuesta en frecuencia, es especialmente importante la relación entre las respuestas en frecuencia de los sistemas de tiempo continuo y discreto. Si prescindimos del solapamiento (suponiendo espectros limitados en banda muestreados a suficiente velocidad), las frecuencias de los sistemas de tiempo discreto y de tiempo continuo se relacionan de forma lineal como se indica en la expresión.
Dado que no hay sistemas analógicos limitados en banda el solapamiento será inevitable. En primer lugar se desarrolla en fracciones simples la función de sistema, donde las constantes Ak se calculan a partir dela siguiente expresión:
La función del sistema se obtiene calculando la Transformada Z de la respuesta al impulso h[n].
Un polo en s=d en el plano s se transforma en un polo en z =edkT Un polo en s=dk en el plano s se transforma en un polo en z =e , siendo los residuos de dkT , siendo los residuos de los desarrollos en fracciones simples iguales. La figura muestra la transformación del plano s en el plano z. Cada banda horizontal del plano s de anchura 2π/T se transforma en todo el plano z. Por tanto, para que el filtro digital se corresponda exactamente con el analógico de partida es necesario que este último sea de banda limitada, es decir, que Ha (ω)=0 para |ω|> π /T.
Figura 3. 2 Planos S y Z.
a. La respuesta al impulso del filtro discreto es idéntica a la del filtro analógico en los instantes t=nT. b. La frecuencia de muestreo afecta a la respuesta en frecuencia del filtro invariante al impulso. Se necesita una frecuencia muy alta para que el sistema discreto sea igual que el analógico. c. El método debe usarse para filtros paso bajo con banda de transición muy reducida, y empleando una frecuencia de muestreo elevada. No puede emplearse para filtros paso alto o filtros banda eliminada, pues el solapamiento en estos es inevitable.
Filtro Butterworth
El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos básicos, diseñado para producir la respuesta más plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razón de 20n dB por década (ó ~6n dB por octava), donde n es el número de polos del filtro.
Figura 3. 3 Orden de filtro Butterworth.
El filtro Butterworth más básico es el típico filtro pasa bajo de primer orden, el cual puede ser modificado a un filtro pasa alto o añadir en serie otros formando un filtro pasa banda o elimina banda y filtros de mayores órdenes.
Según lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro es extremadamente plana (con mínimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto en un diagrama de Bode con escala logarítmica, la respuesta decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por década (aprox. -6dB por octava).
El filtro de Butterworth es el único filtro que mantiene su forma para órdenes mayores (sólo con una pendiente mayor a partir de la frecuencia de corte).
Este tipo de filtros necesita un mayor orden para los mismos requerimientos en comparación con otros, como los de Chebyshev o el elíptico.
Material y equipo
Material
Protoboard.
OPAMP LM741
Resistencias de diferentes valores.
Equipo
Tarjeta de procesamiento de señales TMS320C6713
Equipo de cómputo con Matlab.
Equipo de cómputo con CodeComposer
Generador de funciones.
Osciloscopio digital
Fuente de potencia de dos canales.
Desarrollo
En esta practica se desarrolló un filtro pasa bajas tipo IIR de segundo orden tipo Butterworth. Para esto se generó un código en Matlab que permite encontrar los coeficientes del filtro. Posteriormente se ingresaron los coeficientes obtenidos en el programa Code Composer para ingresarlos a la tarjeta de adquisición.
Desarrollo en Matlab.
Para la codificación de este filtro se utilizaron las fórmulas de segundo orden de los filtros IIR, y se resolvió por fracciones parciales para obtener los polos y ceros. A continuación se muestra el código implementado.
Al correr el código e atlab se obtienen los coeficientes del filtro como se muestra en la figura 5.1.
Figura 5.1: Coeficientes del filtro.
Donde s es z-1, s2 es 1 y 1 es z-2. Las figuras 5.2 y 5.3 muestran la comprobación en Matlab con la herramienta de filtros.
Figura 5.2
Figura 5.3
En la sección 6 se muestran los resultados de la implementación de estos coeficientes en la tarjeta de adquisición.
Resultados
Al implementarse el código y filtro en la tarjeta, se obtuvieron los siguientes resultados mostrados en las figuras 6.1 a 6.5. Se le aplicaron distintas frecuencias para comprobar su funcionamiento.
Figura 6.1: Filtro a 23.8kHz.
Figura 6.2: Filtro a 2.4 kHz
Figura 6.3: Filtro a 2 kHz.
La frecuencia de corte del filtro es de 2.2 kHz, por lo tanto, a 2K el filtro deja pasar todas las señales. Al subir a 2.4k, deja de observarse una de las señales sumadas. Finalmente, una de las señales se sube a 23k, se observa en la figura 6.1 que no deja pasar la señal.
Con esto se puede concluir que se cumplió con el objetivo de la práctica.
Conclusión
Se puede concluir que se cumplieron los objetivos prescritos para la práctica, puesto que se logró filtrar una señal utilizando un filtro pasa bajas, dado que se lograban repeler de forma idónea las frecuencias exteriores a las especificadas en los límites de frecuencia de corte del filtro pasa bajas, se tuvieron registros interesantes de que el procesamiento de la señal era conforme a lo deseable, además de ello se fortalecieron los conocimientos en cuanto al desarrollo de filtros del equipo mediante esta práctica.
Si bien se tuvieron problemas para aplicar el filtro en la tarjeta DSP esto se corrigió a la brevedad.
Bibliografías
Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4.
(EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9.
Carlson, A. Bruce (1986). Communication Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009960-9.
Comentarios
Publicar un comentario