Filtro pasa bajas por método Hamming
Introducción
En el procesamiento de señales, una respuesta de impulso del filtro finito o filtro FIR (Inglés Finite Impulse filtro de respuesta o filtro FIR) es un filtro cuya respuesta de impulso es de duración finita.
A menudo hablamos de filtro RIF para filtros de tiempo discreto. Un filtro FIR digital se caracteriza por una respuesta basada únicamente en un número finito de valores de señal de entrada. Por lo tanto, sea cual sea el filtro, su respuesta al impulso será estable y de duración finita, dependiendo del número de coeficientes del filtro. Los términos filtro no recursivo o filtro de promedio móvil a veces se usan para nombrar la misma clase de filtros, aunque la expresión de filtro de promedio móvil se refiere principalmente a los filtros de pasa bajas.
Objetivos
Diseñar un filtro FIR pasa bajas con el método de la ventana de Hamming.
Sumar tres señales y aplicar el filtro diseñado.
Marco teórico
Filtros pasa bajas
Un filtro paso bajo corresponde a un filtro electrónico caracterizado por permitir el paso de las frecuencias más bajas y atenuar las frecuencias más altas. El filtro requiere de dos terminales de entrada y dos de salida, de una caja negra, también denominada cuadripolo o bipuerto, así todas las frecuencias se pueden presentar a la entrada, pero a la salida solo estarán presentes las que permita pasar el filtro. De la teoría se obtiene que los filtros están caracterizados por sus funciones de transferencia, así cualquier configuración de elementos activos o pasivos que consigan cierta función de transferencia serán considerados un filtro de cierto tipo.
Filtros pasa bajas de primer orden
Cuando un filtro pasa bajos es de primer orden sin importar si es pasivo o activo, su función de transferencia es la siguiente:
Figura 3. 1 Filtro pasa bajas de primer orden.
Donde A representa la ganancia del filtro, si es pasivo A es "1", y ωc es la frecuencia de corte en radianes/seg.
Filtro pasa bajos de segundo orden
Un filtro pasa bajos de segundo orden, sin importar si es pasivo o activo, topología, factor de calidad o aproximación, tiene la siguiente función de transferencia:
Figura 3. 2 Representación de filtros pasa bajas.
Donde A representa la ganancia del filtro (A es "1" si el filtro es pasivo), ωo es la frecuencia central en radianes/seg, y Q es el factor de calidad del filtro. Ahora la relación entre la frecuencia central y la frecuencia de corte está dada por la siguiente ecuación:
Entonces colocando la función de transferencia en función de la frecuencia de corte ωc se tiene:
La constante k se halla por medio de las siguientes ecuaciones:
Ahora cuando el factor de calidad es mayor a 0.7071 la magnitud presenta un pico (cresta). La frecuencia donde se da este pico se halla por medio de la siguiente ecuación:
Y la magnitud pico está dada por la siguiente ecuación:
Tener en cuenta que:
- En los filtros pasa bajos de segundo orden hay dos frecuencias características: la frecuencia central fo y la frecuencia de corte fc, estas dos frecuencias solo tienen el mismo valor en la aproximación Butterworth, de ahí que haya un factor k para relacionar ambas frecuencias.
- La frecuencia de corte fc siempre es la máxima amplitud de salida sobre raíz de dos, si la magnitud presenta una cresta será la amplitud de la cresta sobre raíz de dos.
- Una función de transferencia también puede ser negativa, que quiere decir que la fase se invierte en la salida, gráficamente se observa que la fase no inicia en cero grados sino en 180 grados. La magnitud no se ve afectada.
- Un factor de calidad alto (mayor a 0.7071) no implica que el filtro pasa bajos tome la forma de un filtro ideal, sino que hace que el filtro empiece a portarse más como un filtro pasa banda que como un filtro pasa bajos.
Filtros digitales FIR
En general, el diseño de cualquier filtro digital es llevado a cabo en 3 pasos:
1. Especificaciones: Antes de poder diseñar un filtro debemos tener algunas especificaciones, las cuales son determinadas por la aplicación.
2. Aproximaciones: Una vez que las especificaciones son definidas, se hace uso de los conceptos y herramientas matemáticas ya descritas para establecer la descripción del filtro que aproxime las especificaciones dadas.
3. Implementación: El resultado del paso anterior es una descripción del filtro en forma de ecuaciones de diferencia, una función de transferencia H(z), o una respuesta impulsiva h(n).
Propiedades de los filtros FIR
Los filtros F.I.R. son sistemas que por definición presentan una respuesta al impulso de duración finita. Si se considera al sistema causal, la expresión indicada a continuación caracteriza a un filtro F.I.R. de coeficientes bk.
La función de sistema que caracteriza al filtro es la Transformada Z de la respuesta al impulso.
Las características más importantes de estos sistemas son:
Pueden presentar una característica de fase exactamente lineal. Esto ocurre si la respuesta al impulso cumple:
Dado que su estructura es no recursivas son siempre estables.
Frente a los filtros IIR presentan la desventaja de requerir un orden mucho mayor.
Método de las ventanas
Nos planteamos realizar un filtro pasa bajos ideal con una frecuencia de corte wc, tal y como indica la figura:
Figura 3. 3 Pasa bajos ideal.
Haciendo la Transformada inversa de Fourier discreta de esta función Hd(F), nos queda:
Figura 3. 4 Diseño de filtros pasabanda, eliminabanda y pasaaltos.
Figura 3. 5 Respuesta en frecuencia vs simetría de los filtros FIR.
Ejemplo:
Diseñar un filtro pasabajos:
-Frecuencia de paso: 1.5kHz
-Ancho transición: 0.5kHz
-Atenuación banda de rechazo > 50dB
-Frecuencia de muestreo: 8kHz
HD(n) = 2fc*sinc(2nfc)
La atenuación se consigue con Hamming o Blackman. Por simplicidad elegimos Hamming.
∆f = 0.5k/8k = 0.0625
∆f = 3.3/N
N = 3.3/∆f
N = 3.3/0.0625
N = 52.8
N = 53, número de coeficientes elegido
w(n) = 0.54+0.46cos (2πn/53), -26<n<26
Se selecciona fc en la mitad de la banda de transición:
fc’ = fc + ∆f
fc’ = (1.5k + 0.25k)/8k = 1.75k/8k = 0.21875
Como h(n) es simétrico se calculan solo h(0)…h(26) Para n=0
HD(0) = 2fc sinc(2nfc) = 0.4375
w(0) = 0.54+0.46cos(2πn/53) = 1
h(0) = hD(0)w(0) = 0.4375
h(1) = hD (1)w(1) = 0.31119
h(2) = hD (2)w(2) = 0.06012
h(26) = hD (26)w(26) = 0.000913
Cálculo de los coeficientes en Matlab:
n=-26:26;
fc= 0.2187;
hd = 2*fc*sinc(2*n*fc hd = 2*fc*sinc(2*n*f );
c w = 0.54+0.46*cos(2*pi*n/53);
h=hd.*w;
[Hf,w]=freqz(h,1,128);
fvtool(h,1)
Figura 3. 6 Respuesta en frecuencia de un filtro pasabajos Hamming.
Material y equipo
Material
Protoboard
OPAM 741
Resistencias de diferentes valores
Equipo
Tarjeta de adquisición TMS320C6713
Equipo de cómputo con software Matlab
Generador de Funciones
Osciloscopio
Fuente de voltaje
Desarrollo
En esta práctica se realizará el diseño de un filtro pasa bajas por el método de la ventana de Hamming. Las características del filtro son las siguientes:
fc=2kHz
Δf=300Hz
fs=8kHz
Atenuación de rechazo: >50dB
Se requiere determinar los coeficientes dados por h(n), el coeficiente del filtro hD(n) y el coeficiente de la ventana W(n).
Adquisición de coeficientes para el filtro
Para la adquisición de coeficientes se utiliza la plataforma Matlab, se realiza un código que obtiene el número de iteraciones, coeficientes de filtro y coeficiente de la ventana.
Antes de comenzar, se obtiene Δf' y N. Para Δf' se realiza la siguiente operación:
f'=Δffs=300Hz8kHz=0.0375
Para obtener N se realiza:
N=3.3Δf'=3.30.0375=88
Cuando N es numero par, se debe redondear a impar, debido a que existe el valor 0. El código implementado para obtener los coeficientes se muestra a continuación:
El programa imprime los valores de los coeficientes, estos se guardan en un archivo de texto, que serán utilizados para la segunda parte de la práctica.
Implementación de tarjeta con el filtro
Para implementar el filtro en la tarjeta de adquisición se utiliza el programa code composer. En este compilador se agregan los coeficientes del filtro que se diseñó previamente en Matlab.
Para comprobar su funcionamiento se realiza un circuito sumador de señales, una menor de 1.8kHz, otra de 2.2kHz y una tercera de 3kHz. La frecuencia de corte del filtro es de 2kHz, por lo tanto debe eliminar todas las señales mayores a esta frecuencia.
El circuito por implementar se muestra en la figura 5.1.
Figura 5. 1 Circuito sumador de señales.
En la figura 5.2 se muestra el programa code composer.
Figura 5. 2 Compilador Code Composer
Resultados
La figura 6.1 muestra la grafica de los coeficientes obtenidos por Matlab.
Figura 6. 1 Grafica de coeficientes.
Las figuras 6.2 y 6.3 muestran las señales filtradas, en azul se observa la salida filtrada y en amarillo la entrada de las señales.
Figura 6. 2 Señal filtrada, cercana a 2kHz
Figura 6. 3 Señales filtradas, mayores a 2kHz
Conclusiones
La dificultad de la implementación de filtros pasa bajas digitales FIR por el método de la venta de Hamming (o de cualquier otro) radica en su mayoría en la obtención de los coeficientes por algún método numérico, y menciono difícil, ya que en realidad solo resulta un proceso de programación de las formulas teniendo mucho cuidado de equivocarse en las formulas, ya que una vez realizado el programa, solo se realiza una vez, y si es posible aplicar simetría, solo se calculan la mitad de los coeficientes. Cargar el programa en la DSP y hacer conexiones, solo son cuestiones técnicas.
Bibliografía
E. Cetin, O.N. Gerek, Y. Yardimci, "Equiripple FIR filter design by the FFT algorithm," IEEE Signal Processing Magazine, pp. 60-64, March 1997.
Rabiner, Lawrence R., and Gold, Bernard, 1975: Theory and Application of Digital Signal Processing (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc
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